Algoritmos canónicos (II)

 [Leer 1ª parte]

Otra manera de realizar imitaciones cercanas, especialmente en la práctica de la improvisación, fue codificada por algunos autores como Tomás de Santa María y Francisco de Montanos en el siglo XVI. La técnica que describían estos autores no estaba basada en secuencias ni en esquemas precompuestos como los que vimos en la entrada anterior sino que prescribían una serie de intervalos melódicos para imitaciones concretas (a la octava, la quinta y la cuarta) que aseguraban que la voz imitativa resultase correcta desde el punto de vista del contrapunto; es decir, que formase consonancias o las disonancias permitidas (preparadas y resueltas correctamente).

de Santa María, Libro llamado Arte de tañer fantasía, segunda parte, f. 66v

Estas recetas daban lugar a estructuras canónicas simples, es decir, un contrapunto de primera especie, nota contra nota, sobre el que se podían realizar disminuciones [1] tal y como se aprecia en los ejemplos de de Santa María.

La melodía estructural que da origen al canon solo contiene intervalos prescritos por
de Santa María para el canon a la quinta superior:
terceras ascendentes (azul) y segundas descendentes (verde).

Estas imitaciones a distancia generalmente de un pulso se denominan stretto fuga y nos las explicaron en este otro vídeo de Early Music Sources.

 

No contento con esto, Tomás de Santa María nos da también la receta para realizar cánones a tres voces. Para ello es necesario especificar el orden de entradas y los intervalos de la imitación. En este caso de Santa María indica los intervalos que no pueden hacerse en la voz guía, por tanto los intervalos disponibles se deducen por defecto.

de Santa María, Libro llamado Arte de tañer fantasía, segunda parte, f. 68r

La melodía estructural no contiene los intervalos prohibidos por de Santa María.
Está formada tan solo por terceras ascendentes y cuartas y octava descendentes 
(hay más intervalos disponibles como la segunda descendente que aparece más adelante en la pieza).

En Early Music Sources han preparado un documento que resume las posibilidades para las imitaciones a dos y tres voces, y que además incluye la manera de realizar disminuciones y las cadencias, con lo que ya podemos realizar piezas completas: Peter Schubert & Elam Rotem, A beginner’s guide to creating imitations in two and three voices.

Aunque en el siglo XVI Zarlino ya estaba un poco hasta el gorro de estos trucos (“No deseo insinuar que las fugas a distancia de mínima o semibreve no deberían ser escritas nunca, pero sugiero que su uso sea moderado para no caer en los clichés que se encuentran en todos los libros de música”[2]) estas técnicas siguieron en uso durante siglos. En 1706 Francesco Gasparini escribió su Missa Canonica, una obra en la que en cada movimiento es un canon[3]. En el Kyrie II Gasparini escribe un canon doble basado en dos cánones a la cuarta inferior (soprano/contralto y tenor/bajo) que están realizados con la técnica descrita por de Santa María y Montanos. Bach estudió esta pieza y hacia 1740 realizó un arreglo con instrumentos doblando las voces para interpretarla en público.

 

 

Pero ¿se puede ir más allá y obtener guías para cualquier número de voces? ¿Y para cualquier intervalo? ¿Y para entradas de la imitación no solo a un pulso de distancia?

La respuesta es que sí, tal y como demuestra Stefan Prey en su tesis doctoral Algorithmen zur Satztechnik und ihre Anwendung auf die Analyse (Algoritmos de composición y su aplicación al análisis).

Prey realiza un estudio increíblemente sistemático, en el que tras examinar las principales fuentes teóricas, especialmente los tratados de Marpurg y Taneyev[4], se embarca en un minucioso proceso lógico para tratar de formalizar reglas para cánones con un determinado esquema de entradas según la distancia temporal e interválica.

Para ello Prey va estudiando paso a paso los intervalos que se producen en cada caso, dividiéndolos en disonancias, consonancias imperfectas (terceras y sextas) y consonancias perfectas (octavas y quintas justas [y cuartas en los casos detallados al final de este párrafo]). Esta última categorización es relevante ya que tomará en consideración que no se produzcan consonancias perfectas seguidas para evitar las temidas quintas y octavas paralelas. Además estudia las posibilidades de emplear retardos, las diferentes posibilidades y necesidades de contrapunto invertible para la realización de cánones a más de dos voces y el cambiante estatus del intervalo de cuarta, disonante si se produce con la voz más grave y consonante si esta no participa en el intervalo.

A partir de ahí Prey consigue formalizar cánones para cualquier distancia interválica, distancia temporal y número de voces, y tal y como habían hecho de Santa María y Montanos, indica para cada caso los intervalos melódicos disponibles[5], así como las sucesiones interválicas posibles[6], pero además añade una novedad. Representa las combinaciones interválicas disponibles con un grafo que sintetiza de manera visual y muy práctica las reglas a seguir.

Prey emplea grafos dirigidos en los que en cada nodo se asigna uno de los intervalos disponibles. Veamos un ejemplo. Para el siguiente esquema de entradas:

 

Prey, p. 93

Prey obtiene las siguientes reglas:

• Los intervalos disponibles son la cuarta ascendente, el unísono y la el tercera descendente.
• Los unísonos pueden repetirse cuantas veces se desee.
• No se pueden hacer más de dos terceras consecutivas.
• Entre dos cuartas debe haber al menos una tercera o dos unísonos.

Todas estas reglas se visualizan fácilmente en el siguiente grafo:

Prey, p. 93

Veamos un ejemplo de su funcionamiento:

Prey desarrolló además un programa que, dado el esquema de inicio de las diferentes voces, halla las posibilidades melódicas y genera cánones de acuerdo con ellas. Las aplicaciones están disponibles  en thesis_prey_software.zip  y se puede jugar un poco con ellas[7]. A pesar de cumplir las normas del contrapunto, con frecuencia los resultados son musicalmente cuestionables, al producir líneas melódicas bastante pobres (repetitivas, unidireccionales o con demasiados saltos). Se pone así de manifiesto que hacer música es algo más que evitar cometer errores.

 

Prey explica también como sutiles diferencias en el orden de las entradas ocasionan diferencias sustanciales en las posibilidades canónicas.

 

Prey, p. 112
El segundo orden de entradas es mucho más versátil que el primero,
cuyos intervalos disponibles se reducen a segundas ascendentes y descendentes. 

Estas diferencias se reflejan en la práctica musical al ser el segundo modelo mucho más común en el repertorio. Además, la prevalencia de imitaciones a la quinta o a la octava sobre otras como imitaciones a la tercera estarían en parte justificada por la mayor variedad que permiten las primeras en comparación con otras.

Como era de esperar a medida que se aumentan las voces las reglas se hacen más restrictivas y los grafos se van haciendo más y más complejos. Por ejemplo, para el siguiente esquema de entradas

 las pautas son las siguientes:

• Los intervalos posibles son la cuarta ascendente, el unísono y la tercera descendente.
•  Los unísonos pueden repetirse cuantas veces se desee.
•  Entre dos cuartas debe haber al menos una tercera y un unísono o al menos tres terceras.
•  De cuatro intervalos sucesivos, no más de dos pueden ser terceras. 

Esto se refleja en el siguiente grafo:

Prey, p. 118

Prey señala un ejemplo de este modelo en el coro final de El Mesías de Händel.

Curiosamente este ejemplo se podría explicar mediante el método que exponen Early Music Sources en el primer vídeo de la anterior entrada. En este caso se trata de dos voces (A y B) realizando un canon a la quinta a las que se añaden las versiones sincopadas, A^S y B^S. 

[NB: La disminuciones de A^S, B y B^S son ligeramente diferentes a las de A,

ya que en la segunda cuarta ascendente añaden semicorcheas de paso que no aparecen en A]

Esto es solo una pequeñísima muestra de las posibilidades de elaboración canónica. Prey estudia otros muchos casos, como cánones por movimiento contrario, cánones sobre progresiones armónicas o cantus firmus dados, posibilidades de realización de quodlibets, etc. En ocasiones las formalizaciones de Prey llegan a resultar realmente complejas, aunque realizar ese tipo de cánones por ensayo y error también resulta extremadamente difícil. Ser conscientes de estas dificultades nos hace apreciar más si cabe las hazañas contrapuntísticas de compositores como Tallis o Bach.

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[1] Las técnicas de disminución incluían la repetición de notas dividiendo una nota larga nota en varias más cortas, la inserción de silencios, notas de paso, floreos y síncopas. Aunque técnicamente no es una disminución también se podría incluir como variación rítmica de la estructura esquemática de nota contra nota el ligar unísonos contiguos. ^↩

[2]  Zarlino, The art of counterpoint, p. 129 ^↩

[3] Otros autores, desde Fux a Brahms escribieron también misas canónicas. ^↩

[4] Marpurg y Taneyev son probablemente los autores más destacados en el estudio del canon. Marpurg en su Abhandlung von der Fuge (Tratado sobre la fuga) dedica varios capítulos al canon citando numerosos ejemplos y dando reglas para escribir algunos tipos de cánones aunque en algunos casos se limita a decir que es cuestión de ensayo y error (“No se pueden dar más reglas para esto. Las posibilidades se encuentran cuando se practica, y hay que girar y cambiar los intervalos hasta que se armonicen”). Taneyev es mucho más sistemático y consigue formalizar muchos más casos. Prey se apoya bastante en su tratado La doctrina del canon, pero va más allá y trata de formalizar casos que no son tratados por Taneyev, como encontrar todas las posibilidades canónicas para una melodía dada. ^↩

[5] Prey indica que se podrían igualmente formalizar reglas para las disminuciones, pero que eso se salía del ámbito de estudio de su tesis (p. 23). ^↩

[6] En cánones de más de dos voces la lista de intervalos disponibles no es suficiente para evitar faltas. Determinadas sucesiones de intervalos que individualmente no producen faltas pueden dar lugar a conducciones paralelas. En el siguiente ejemplo, con el mismo esquema de entradas que el anterior ejemplo de de Santa María, las terceras ascendentes están permitidas. Sin embargo, al hacer tres terceras seguidas se producen octavas paralelas. Estos casos no estaban detallados en el tratado de de Santa María, pero ya aparecen en El melopeo y maestro (1613) de Cerone (y también se incluyen en la guía de Early Music Sources). ^↩

[7] El programa genera la notación musical con la ayuda de Lilypond, un programa de notación gratuito sin interfaz gráfica de usuario. Para visualizarlo y reproducirlo empleo el programa Frescobaldi. ^↩